Поняття колінеарних векторів
Колінеарними називаються вектори, які лежать на одній прямій або паралельних прямих, тобто напрямок одного вектора можна отримати множенням іншого на скаляр (число). У двовимірному чи тривимірному просторі визначення колінеарності залишається однаковим: якщо v = k * u, де k – деяке дійсне число, то вектори u і v вважаються колінеарними.
Аналітичні методи
Існує кілька підходів до перевірки, чи є два вектори колінеарними:
- Перевірка пропорційності координат: У 2D два вектори (x1, y1) і (x2, y2) колінеарні, якщо x1 / x2 = y1 / y2 (за умови, що x2 і y2 не дорівнюють нулю). У 3D додатково враховується третя координата.
- Обчислення векторного добутку (2D або 3D): Якщо векторний добуток (або псевдовекторний добуток у 2D) дорівнює нулю, то вектори колінеарні.
Приклад у 2D
Якщо маємо вектори A = (2, 4) та B = (1, 2), то перевірка пропорційності: 2 / 1 = 4 / 2 = 2. Оскільки відношення дорівнюють, вектори колінеарні.
Векторний добуток у 2D
У двовимірному просторі A × B часто подають як скаляр (визначник матриці 2×2). Вектори A = (x1, y1) і B = (x2, y2) колінеарні, якщо x1 * y2 – x2 * y1 = 0.
Геометричний підхід
З геометричної точки зору, вектори колінеарні, якщо вони спрямовані уздовж однієї прямої лінії. Для візуального визначення можна:
- Намалювати обидва вектори зі спільною точкою початку.
- Подивитися, чи збігаються вони за напрямком (або напрямки протилежні).
Якщо вони чітко лежать на одній прямій, вони колінеарні. Якщо один вектор не можна “накласти” на інший шляхом простої зміни довжини, вони не колінеарні.
Нульовий вектор
Варто згадати, що нульовий вектор (0, 0) вважається колінеарним із будь-яким іншим вектором, оскільки він є результатом множення будь-якого вектора на скаляр 0.
Часті помилки
Неправильне використання формули пропорційності може призвести до помилки, коли координати дорівнюють нулю. Наприклад, якщо один із векторів має координату x2 = 0, тоді обчислення x1/x2 не має сенсу. У таких випадках потрібно застосовувати векторний добуток, щоб уникнути ділення на нуль.
У 3-вимірному просторі
Для тривимірних векторів A = (x1, y1, z1) і B = (x2, y2, z2) можна перевіряти колінеарність через векторний добуток. Якщо всі три компоненти векторного добутку дорівнюють нулю, тоді вектори колінеарні. Аналогічно, можна перевірити пропорційність: x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 (з урахуванням випадків, коли значення дорівнюють нулю).
Підсумкові думки
Щоб дізнатися, чи колінеарні вектори, найпростіше скористатися векторним добутком або перевірити пропорційність їхніх координат. Геометрично це означає, що вони розташовані вздовж однієї прямої або паралельних прямих і можуть бути отримані множенням одного вектора на скаляр. При цьому слід враховувати особливі випадки, наприклад, нульовий вектор чи нульові координати.